Передмова З
Розділ 1. АЛГЕБРА 4
Коротка історія розвитку алгебри 4
Тема 1. Дійсні числа 7
§ 1. Натуральні числа 7
§ 2. Додатні дроби 11
§ 3. Відношення, пропорція, процент 19
§ 4. Дійсні числа 22
Тема 2. Алгебраїчні вирази та їх перетворення 24
§ 1. Алгебраїчні вирази 24
§ 2. Цілі вирази 26
§ 3. Дробові раціональні вирази ЗО
§ 4. Дії з коренями. Арифметичне значення кореня 35
Тема 3. Рівняння та системи рівнянь 45
§ 1. Рівняння з одним невідомим 45
§ 2. Системи рівнянь 48
§ 3. Методи розв’язання систем двох лінійних рівнянь 48
§ 4. Рівняння, які містять знак модуля 51
§ 5. Арифметичне значення кореня в прикладах і розв’язках 53
§ 6. Квадратні рівняння 55
§ 7. Теорема Вієта 59
Тема 4. Многочлени від однієї змінної 63
§ 1. Рівняння вищих степенів 63
§ 2. Канонічна форма многочлена 64
§ 3. Подільність многочленів. Корені многочленів 66
§ 4. Теорема Везу і її наслідки 67
Тема 5. Штучні способи розв’язування рівнянь 73
§ 1. Попереднє перетворення рівнянь 73
§ 2. Рівняння однорідні і такі, що зводяться до однорідних 77
§ 3. Доповнення до повного квадрата 80
§ 4. Зворотно-симетричні рівняння 83
§ 5. Метод похідної пропорції 85
§ 6. Розв’язування рівняння відносно коефіцієнта 87
§ 7. Рівняння виду (х + а)4 + (х + Ь)4 — т 88
§ 8. Метод неозначених коефіцієнтів 89
§ 9. Метод Кардано для розв’язання кубічного рівняння 91
Тема 6. Розв’язування ірраціональних рівнянь І 93
Тема 7. Системи нелінійних алгебраїчних рівнянь з двома невідомими 96
§ 1. Система нелінійних алгебраїчних рівнянь 96
§ 2. Штучні способи розв’язування систем рівнянь 97
§ 3. Системи рівнянь, ліві частини яких однорідні 98
§ 4. Застосування теореми Вієта при розв’язуванні систем рівнянь 99
§ 5. Розв’язування кругових систем 101
§ 6. Використання теореми Вієта для кубічного рівняння при розв’язуванні
систем рівнянь 103
§ 7. Симетричні системи рівнянь 104
Тема 8. Задачі на складання рівнянь 105
§ 1. Як розв’язати задачу на складання рівнянь 105
§ 2. Задачі на рух 106
§ 3. Задачі з цілими невідомими 110
§ 4. Задачі на розчини і сплави 114
Тема 9. Нерівності 116
§ 1. Розв’язування нерівностей 116
§ 2. Метод інтервалів 119
§ 3. Розв’язування нерівностей з модулями 122
§ 4. Ірраціональні нерівності 125
§ 5. Доведення нерівностей 128
Тема 10. Функції та їх графіки 133
§ 1. Функції 133
§ 2. Загальні властивості функцій 135
§ 3. Графіки функцій 138
§ 4. Правила перетворення графіків функцій 141
Тема 11. Знаходження площ фігур, обмежених лініями 153
Тема 12. Дослідження і розв’язування лінійних рівнянь з параметрами 156
Тема 13. Дослідження систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими 159
Тема 14. Розв’язування нерівностей першого степеня з параметрами 163
Тема 15. Умови розташування коренів квадратного тричлена 165
Тема 16. Логарифми 169
§ 1. Властивості логарифмів 169
§ 2. Тотожні перетворення показникових і логарифмічних виразів 171
Тема 17. Показникова і логарифмічна функції 173
§ 1. Властивості показникової і логарифмічної функцій 173
§ 2. Розв’язування показникових рівнянь 174
§ 3. Розв’язування логарифмічних рівнянь 179
§ 4. Розв’язування систем показникових і логарифмічних рівнянь 186
§ 5. Розв’язування показникових нерівностей 188
§ 6. Розв’язування логарифмічних нерівностей 193
Тема 18. Комплексні числа 197
§ 1. Алгебраїчна форма комплексного числа 197
§ 2. Тригонометрична форма комплексного числа 199
Тема 19. Комбінаторика та біном Ньютона 202
§ 1. Сполуки без повторень та їх види 202
§ 2. Біном Ньютона 206
Розділ 2. ТРИГОНОМЕТРІЯ 211
Коротка історія розвитку тригонометрії 211
Тема 1. Тригонометричні функції, їх властивості і графіки 212
§ 1. Вимірювання кутів і дуг 212
§ 2. Визначення тригонометричних функцій довільного кута 213
§ 3. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу 214
§ 4. Доведення тотожностей 217
§ 5. Парність тригонометричних функцій 219
§ 6. Формули зведення 220
§ 7. Функції суми аргументів 222
§ 8. Функція подвійного та половинного аргументу 225
§ 9. Перетворення добутку тригонометричних функцій на суму
і перетворення суми тригонометричних функцій на добуток 227
§ 10. Функції кратних аргументів і їх використання в перетворенні
тригонометричних виразів 228
§ 11. Тотожні перетворення тригонометричних виразів 230
§ 12. Періодичність тригонометричних функцій 231
§ 13. Властивості тригонометричних функцій та їх графіків 232
§ 14. Поняття про обернену функцію 235
§ 15. Тотожності, рівняння та нерівності з оберненими тригонометричними
функціями 238
Тема 2. Розв’язування тригонометричних рівнянь 243
§ 1. Найпростіші тригонометричні рівняння 243
§ 2. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь 245
§ 3. Рівність однойменних функцій і їх використання при розв’язуванні
рівнянь 247
§ 4. Розв’язування однорідних рівнянь або рівнянь, що зводяться до однорідних 248
§ 5. Розв’язування рівнянь розкладанням на множники 250
§ 6. Розв’язування рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій
у суму 250
§ 7. Розв’язування рівнянь із застосуванням формул зниження степеня 251
§ 8. Рівняння, лінійні відносно sin х і cos х 253
§ 9. Рівняння, симетричні відносно sin х і cos х 255
§ 10. Рівняння, що розв’язуються заміною аргументу 256
§ 11. Рівняння, що розв’язуються за допомогою універсальної підстановки 257
§ 12. Нестандартні тригонометричні рівняння 259
Тема 3. Умовні рівності 264
§ 1. Умовні рівності І виду 264
§ 2. Умовні рівності II виду 266
§ 3. Умовні рівності III виду 267
Тема 4. Вилучення параметрів 269
Тема 5. Співвідношення між елементами трикутника 271
Тема 6. Задачі на встановлення виду трикутника 273
Тема 7. Підсумовування 275
Тема 8. Розв’язування систем тригонометричних рівнянь 277
Тема 9. Розв’язування тригонометричних нерівностей 282
Тема 10. Доведення справедливості тригонометричних нерівностей 290
Тема 11. Розв’язування рівнянь із параметрами 292
Розділ 3. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ 295
Тема 1. Математична індукція 295
§ 1. Індукція 295
§ 2. Метод математичної індукції 296
Тема 2. Числова послідовність. Границя числової послідовності 297
§ 1. Поняття числової послідовності 297
§ 2. Деякі способи задання послідовності 297
§ 3. Монотонні послідовності 299
§ 4. Нижня та верхня границя послідовності 300
§ 5. Ознаки існування границі послідовності 301
§ 6. Нескінченно малі послідовності 301
§ 7. Нескінченно малі величини 304
§ 8. Нескінченно великі величини 304
Тема 3. Застосування теореми про границю послідовності для розв’язування рівнянь 306
Тема 4. Прогресії 308
§ 1. Арифметична прогресія 308
§ 2. Геометрична прогресія 310
§ 3. Нескінченно спадна геометрична прогресія 311
Тема 5. Границі функції 313
§ 1. Поняття границі функції 313
§ 2. Теореми про границі функцій. Властивості границь 314
§ 3. Неперервність функції в точці 314
§ 4. Основні властивості неперервних функцій 317
§ 5. Знаходження границь 318
§ 6. Перша особлива границя lim S1^ х =1 320
§ 7. Похилі та горизонтальні асимптоти кривої 321
Тема 6. Похідна та її використання 325
§ 1. Приріст функції та приріст аргументу 325
§ 2. Похідна функції 325
§ 3. Залежність між неперервністю і диференційованістю 327
§ 4. Основні правила диференціювання 327
§ 5. Похідна складеної функції 330
§ 6. Геометричний зміст похідної 331
§ 7. Механічний зміст похідної 332
§ 8. Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої 333
§ 9. Похідні вищих порядків 336
Тема 7. Застосування похідної 338
§ 1. Теореми Ферма і Лагранжа 338
§ 2. Зростання і спадання функції 339
§ 3. Екстремуми функції 341
§ 4. Дослідження функції на опуклість. Точки перегину 347
§ 5. Найбільше і найменше значення функції на відрізку 350
§ 6. Текстові задачі на екстремум 351
§ 7. Побудова графіка функції 352
Тема 8. Інтеграл і його застосування 357
§ 1. Первісна. Таблиця первісних 357
§ 2. Основна властивість первісної 359
§ 3. Первісна функції та невизначені інтеграли 361
§ 4. Основні методи інтегрування 364
§ 5. Визначений інтеграл 368
Розділ 4. ГЕОМЕТРІЯ. ПЛАНІМЕТРІЯ 382
Коротка історія розвитку геометрії 382
Тема 1. Основні поняття геометрії 384
§ 1. Аксіоми планіметрії 384
§ 2. Відрізок, промінь, кут 385
Тема 2. Основні властивості найпростіших геометричних фігур 386
§ 1. Суміжні кути, їх властивості 386
§ 2. Вертикальні кути та їх властивості 387
§ 3. Паралельність прямих та їх властивості 388
§ 4. Ознаки паралельності прямих 388
§ 5. Перпендикуляр 390
§ 6. Кути із взаємно паралельними (взаємно перпендикулярними) сторонами .... 390
§ 7. Бісектриса кута 391
Тема 3. Трикутники 391
§ 1. Ознаки рівності трикутників 392
§ 2. Висота, бісектриса, медіана трикутника 392
§ 3. Рівнобедрений трикутник. Його властивості та ознаки 393
§ 4. Рівносторонній трикутник 394
§ 5. Сума кутів трикутника. Зовнішній кут 396
§ 6. Прямокутний трикутник 397
§ 7. Перпендикуляр і похила 399
§ 8. Нерівність трикутника 399
§ 9. Кут між бісектрисами трикутника 399
Тема 4. Теореми та їх доведення 400
§ 1. Пряма й обернена теореми 400
§ 2. Доведення від супротивного 401
Тема 5. Чотирикутники та їх види 403
§ 1. Паралелограм 403
§ 2. Прямокутник 406
§ 3. Ромб 407
§ 4. Квадрат 408
§ 5. Трапеція 408
Тема 6. Теорема Фалеса 411
Тема 7. Середня лінія трикутника та чотирикутника 412
§ 1. Середня лінія трикутника 412
§ 2. Середня лінія трапеції 413
Тема 8. Теорема Піфагора 414
Тема 9. Властивості перетворення подібності 415
§ 1. Властивості подібних фігур 416
§ 2. Ознаки подібності трикутників 416
§ 3. Подібність прямокутних трикутників 418
Тема 10. Площі фігур 419
§ 1. Площа прямокутника 419
§ 2. Площа паралелограма 420
§ 3. Площа ромба 421
§ 4. Площа квадрата 421
§ 5. Площа трикутника 422
§ 6. Властивості медіани трикутника 422
§ 7. Площа трапеції 423
§ 8. Площа чотирикутника 424
§ 9. Площа круга 424
Тема 11. Метричні співвідношення між елементами трикутника 425
§ 1. Бісектриса трикутника 426
§ 2. Медіана трикутника 427
Тема 12. Співвідношення в трапеції 428
Тема 13. Тригонометричні співвідношення у прямокутному трикутнику 428
Тема 14. Коло 430
§ 1. Коло і його елементи 430
§ 2. Дотична до кола 431
§ 3. Кути, пов’язані з колом 431
§ 4. Пропорційність відрізків хорд і січних кола 433
§ 5. Коло і круг. Вписані і деякі інші кути 435
§ 6. Вписані чотирикутники 436
§ 7. Описані чотирикутники 436
§ 8. Описані чотирикутники. Ключові задачі 438
Тема 15. Декартові координати на площині 440
§ 1. Координати середини відрізка 440
§ 2. Відстань між точками 440
§ 3. Рівняння фігури на площині в декартових кординатах 440
§ 4. Рівняння кола 440
§ 5. Рівняння прямої 441
§ 6. Кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої 441
Тема 16. Вектори 441
§ 1. Координати вектора 442
§ 2. Додавання векторів 442
§ 3. Різниця векторів 443
§ 4. Множення вектора на число 443
§ 5. Розкладання вектора за двома неколінеарними векторами 444
§ 6. Кут між векторами 444
§ 7. Скалярний добуток векторів 444
§ 8. Застосування векторів при розв’язуванні задач 447
Тема 17. Рух 448
§ 1. Властивості руху 448
§ 2. Поворот 449
§ 3. Паралельне перенесення та його властивості 449
§ 4. Перетворення подібності. Гомотетія 450
§ 5. Симетрія відносно точки 450
§ 6. Симетрія відносно прямої 451
Тема 18. Задачі на побудову 451
§ 1. Основні задачі на побудову 451
§ 2. Базисні задачі на побудову І 452
§ 3. Загальна схема розв’язування задач на побудову 455
§ 4. Метод спрямлення 455
§ 5. Алгебраїчний метод 456
§ 6. Метод геометричних місць 457
§ 7. Метод паралельного перенесення 458
§ 8. Задачі на коло 459
§ 9. Метод подібності 461
§ 10. Метод симетрії 462
Тема 19. Теореми косинусів і синусів 463
§ 1. Теорема косинусів 463
§ 2. Теорема синусів 464
§ 3. Розв’язування трикутників 464
Тема 20. Правильні многокутники 466
§ 1. Правильний трикутник (рівносторонній) 466
§ 2. Правильний чотирикутник (квадрат) 466
§ 3. Правильний шестикутник ; 467
§ 4. Довжина кола 467
§ 5. Довжина дуги кола 467
Тема 21. Додаткові теореми і факти планіметрії 468
§ 1. Теорема Менелая 468
§ 2. Теорема Чеви 468
§ 3. Теорема Стюарта 468
§ 4. Коло Ейлера 469
§ 5. Пряма Ейлера І 469
§ 6. Пряма Сімсона 469
§ 7. Теорема Гаусса 469
Розділ 5. ГЕОМЕТРІЯ. СТЕРЕОМЕТРІЯ 470
Тема 1. Розташування прямих і площин у просторі 470
§ 1. Аксіоми стереометрії 470
§ 2. Паралельність прямих і площини 471
§ 3. Ознака паралельності прямої і площини 471
§ 4. Ознака паралельності площин 472
§ 5. Властивості паралельних площин 472
§ 6. Зображення просторових фігур на площині 473
§ 7. Перпендикулярність прямих і площин 474
§ 8. Перпендикуляр і похила 475
§ 9. Теорема про три перпендикуляри , 476
§ 10. Задачі на перпендикуляр і похилу 476
§ \\. Тіерпеидик.'упя.рііістг. плои\ил\ 479
§ 12. Відстань між мимобіжними прямими 480
§ 13. Кут між мимобіжними прямими 481
§ 14. Кут між прямою та площиною 481
§ 15. Кут між площинами 481
Тема 2. Многогранники 482
§ 1. Двогранний кут 482
§ 2. Тригранний і многогранний кути 483
§ 3. Многогранник 483
§ 4. Призма 483
§ 5. Паралелепіпед 485
§ 6. Задачі на правильну призму 486
§ 7. Задачі на неправильну призму 489
§ 8. Піраміда 490
§ 9. Задачі на правильну трикутну піраміду 495
§ 10. Задачі на правильну чотирикутну піраміду 496
§ 11. Задачі на правильну шестикутну піраміду 497
§ 12. Задачі на неправильну піраміду 498
§ 13. Ключові задачі 499
§ 14. Задачі на знаходження площі поверхні призми 500
§ 15. Задачі на площу поверхні піраміди 501
Тема 3. Об’єми тіл 501
§ 1. Об’єми многогранників 501
§ 2. Об’єм призми 502
§ 3. Об’єм піраміди 504
Тема 4. Тіла обертання 505
§ 1. Прості випадки обертання 505
§ 2. Циліндр 506
§ 3. Конус 507
§ 4. Куля 508
§ 5. Зрізаний конус 509
Тема 5. Об’єми круглих тіл 509
§ 1. Об’єм циліндра 509
§ 2. Об’єм конуса 509
§ 3. Об’єм зрізаного конуса 510
§ 4. Об’єм кулі 510
§ 5. Об’єм кульового сегмента 510
§ 6. Об’єм кульового сектора 510
§ 7. Задачі на тіла обертання 510
Тема 6. Комбінація геометричних тіл 512
§ 1. Циліндр, вписаний у кулю 512
§ 2. Циліндр, описаний навколо кулі 512
§ 3. Конус, вписаний у кулю 513
§ 4. Куля, вписана в конус 513
§ 5. Інші комбінації геометричних тіл 513
§ 6. Многогранник, вписаний у кулю 514
§ 7. Многогранник, описаний навколо кулі 515
§ 8. Задачі на комбінації геометричних тіл 516
Тема 7. Декартові координати та вектори у просторі 519
§ 1. Прямокутна Декартова система координат 519
§ 2. Перетворення у просторі 520
§ 3. Подібність просторових фігур 520
§ 4. Вектори у просторі 521
Розділ 6. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ 522
§ 1. Основні поняття теорії ймовірностей 522
§ 2. Геометричні ймовірності 530
§ 3. Умовні ймовірності. Теорема множення 535
§ 4. Послідовні незалежні випробування. Схема Бернуллі 543
§ 5. Поняття про закон великих чисел. Статистична ймовірність 547
Розділ 7. ВСТУП ДО СТАТИСТИКИ 549
§ 1. Теорія ймовірностей і статистика 549
§ 2. Випадкові величини 550
§ 3. Числові характеристики розподілу ймовірностей 556
Розділ 8. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ 571
§ 1. Висловлення та операції над ними 571
Додатки 577
