1. АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
1.1. Чисnа і вирази .... .. ..... ....... " ..... .. ..... . 7
1.1.1. Дійсні числа .. .......... . .... .. ..... .. ...... 7
Натуральні числа ...... .•....... .. . . .... . . .. 7
Цілі числа .. . .. . ........ ....... " . " "" .... 7
Звичайні дроби і мішані числа ...... . . ..... .. 7
Раціональні числа ..... . . . . . .. ........ . ... .. 7
Десяткові дроби ... . .. . .•.... . . . ..... .. . .... 8
Ірраціональні числа . . .. . .. . .. .. .•.... . . . .. . 8
Дійсні числа ...... . ....... .•. . •............. 8
Додавання чисел .. . .. ..•..... .... ....•..... 8
Віднімання чисел ...... .. .. .. .•. . ... . ....... 9
Множення чисел ..... .. •..•..........•..... 9
Ділення чисел ... . .. . ... . .. ..... .. ......... . 9
Порівняння чи сел (натуральних, цілих,
дробових) .. . .. ... . . . ..... ..... . .......... 10
Перетворення чисел . ........ .•......... . .. 11
Модуль дійсного числа .. . "."" ... " ... . .. 13
Ціла і дробова частини дійсного числа ....... 13
Деякі підмножини ді й сних чисел ... ......... 13
Степені ... . . .. .... . .. ... . . . ........•...... 14
Пропорції .... ..... . ... .... . .. . .. ... . ...... 14
Середнє арифметичне .................. ... 14
Середнє геометричне (середнє пропорційне) ... 14
Середнє квадратичне .. . .... ............... 14
Відсотки .. ..... ............•. . •.. . .... .... 15
Логарифми ..... . . .... . ... . ... . ... ........ 15
Арифметичний квадратний корінь . . ... .. ... 16
Арифметичні корені п-го степеня . . ... . ... 1 б
1.1 .2. Тотожності . " . ... ... . .. .. " ... .. . ... ..... " 17
Основні закони ал гебри . .. . . . ..... •. .•.. ... 17
Розкладання на множники .. ............... 18
Виділення квадрата двочлена із квадратного
тричлена . .. . . . . . .. ... .................... 18
1.1.3. Тригонометрія ." ......... •. . . ... •.. " ..... 19
Радіанний вимір кутів ............. . . . ..... 19
Означення тригонометричних функцій .. .... 19
Знаки тригонометричних функцій ..... ...... 20
Парність (непарність) тригонометричних
функц і й .. ...... . ...... .. . . ... .. . . . ....... 20
Значення тригонометричних функцій деяких
кутів ............ . .. . ... . . ....... ...... ... 20
Наближені значення тригонометричних
функцій деяких кутів ........ ..... . . . . ..... 20
Періодичність ............... ............. 21
Співвідношення між тригонометричними
функціями одного й того самого ар гумента .. 21
Формули додавання .......... .. ...... .. ... 21
Формули подвійного кута .. .. ....•...... ... 21
Формули пони ження степеня . . . .. .. . . .. .... 21
Формули половинного кута . .. . . .. . . . .. . ... 21
Формули перетворення суми тригоно-
метричних функцій на добуток . . . .. . . . .. ... 22
Формули перетворення добутку
тригонометричних функцій на суму . ... ..... 22
Вираження ттригонометричних функцій через
тангенс половинного кута ...... ..... ....... 22
Формули потрійного кута ............... ... 23
Формули зведення ...... . .. . .......... .. .. 23
Обернені тригонометричні функції . . . .. . . . .. 23
Значення обернених тригонометричних
функцій деяких чисел ................. ..... 23
Основні співвідношення .... ... . .... ....... 24
Приклади тестових завдань до теми
«Числа і вира3И» ...... . ..... ........ . ... ... .. .. 25
1.2. Рівняння, нерівності та їх системи ......... 28
1.2.1. Рівняння та їх системи ....... ........ .... .. 28
Рівняння з однією змінною .. . .. ... .. . . ..... 28
Рівносильні рівняння .... . . . . .. . ...... . .... 28
Системи та сукупності рівнянь
з однією змінною . . . ..... . . . ...... •..•.... . 29
Ліні й ні рівняння .... . . ... ... •. .. ..• . .•..... 29
Квадратн і рівняння ...... . ......... ..•. . . .. 29
Теорема Вієта . ... .. . .. . . . ... .. . .. . . .. . . . .. ЗО
Неповні квадратні рівняння . . . . . . ... . ... .. . ЗО
Біквадратні рівняння ..... . . . ..... •. . •. .... ЗО
Тричленні рівняння .. . . . ... . .. .... •.. ... . .. ЗО
Рівняння з модулем ........ . ..•..•..•. .... Зl
Ірраціональні рівняння . .. . ... .. . . . . .. . . . .. Зl
nока з никові рівняння . .. . . .. ...... . . . .... .. З2
Логариф м ічні рівнянн я .. . . . ......... ... . .. ЗЗ
Розв 'язування найпростіших тригоно -
метрични х рівнянь ...... . . . . . .. ........... З4
О к ре м і випад к и розв 'язування на й простіш и х
тригонометр и чних рівнянь ........... .. .. .. З5
Загальні методи розв'яз ування рівнянь
з одн іє ю змінною .. . . ................. ..... З5
Рівняння з двома з мінн и м и . ........ . .... .. З7
С и стеми рівнянь із двома змінн ими ... . ... . З9
Рівнос ильні систем и рівнянь . . . . .. .. ....... З9
Системи двох ліні й них рівнянь ...... .. . .... 40
Розв'я зування систем двох рівн я нь
із двома змінн и ми способом
додавання ... . .. . . . . .. .. ... . . .. . . .. . ... ... 40
Роз в'я зув а нн я с и стем двох рівнянь
із двома змінни м и способом
під с та новки .. . ... .. . . .. .. . . .. . ..•. .• ...... 40
1.2.2. Нерівності та їх системи ........ ... . ... "" 41
Нерівності з однією змінною . . . . ..•. .... . . .. 41
Рівносильні нерівності .. . . . . .. . ............ 41
Лінійні нерівності з однією змінною ......... 41
Квадратичні нерівності ..... . .... . . . . . .... . 42
Розв'я зування найпростіших тригономет-
рични х нерівностей . . . .. . ... . .. . . .. . .. . . .. 42
С и стеми нерівностей з однією змінною ...... 4З
Подві й ні нерівності ......... . ......... ..... 43
Дробові нерівності ....... . . . ...... .... . .. . 44
Нерівності з модулем . .... . .. " " ... " " " . 45
Ірраціональні нерівності .. . ......... . ... . .. 45
Роз в'я зування раціональних нерівносте й
м етодом інтервалів ... ... . ... . ..... . . .. ... 46
По к азникові нерівності ..... .. •. . .... . •. .. . 46
Логарифмічні нерівності . . . . . . . ...... . . .... 47
Приклади тесто вих за вдань до те ми
«Рі внянн я , нерівності та їх систе ми » .......... 48
1.3. Функції ..... ...... .... ........... .. ......... ... 52
1.3. 1. Функції та їх графіки ." . . ... • " . " .• " . " " 52
Основні поняття . .... . ........ . . . . . . .•. .. .. 52
Область визначення функіії ..... .. ...•... .. 52
Область з начень фун к ції .......... . ..... . .. 5З
nарні і непарні функції .. .. . . . ..•. . . ..• ... .. 5З
Період и чні функції . . ..... .. . . .. .. •. .. . . . .. 5З
Корінь (нуль) фун к ції .... . ... .. ... .. . . ..... 54
Проміжки знакосталості .. . . ... . . ... . .... .. 54
Монотонність (з ростання, спадання) фун кції .. 54
Екстремуми (максимум и , мінімуми) фун к ції .. 55
Обернена функція .... . .. .. ... .. . . ... . .... . 55
Властивості деяки х функці й . .. . .... . .•.... . 55
Перетворення графіків функці й . . . .. ....... . 62
Власт и вості тригонометричн их функці й . . .. . 64
1.3.2. Елементи математичного аналізу ......... .. 66
Послідовності . . . ... . .. .. . . ..... . .... . ... .. 66
Грани ця послідовності . . .............. . . . .. 66
Теор ем и про границі послідовності . .... . . .. 66
Арифметична прогресія ... . ....... ......... 67
Геометрична прогресі я .. .. . . . . .. . .. .... " .. 67
Нескінченно спадна геометрична п рогр е сія .. 67
Деякі ч и слов і послідовності та їх суми ....... 67
границя функції в точці ' ' ' . ' . ' ' . ' . ' .. ' . . . .. 68
Теорем а про гра н и ці фун к ції в точці . . ... .... 68
Неперер в ність функції .. .. . . .. . . .. ......... 68
Оз наченн я похідної. По х ідна та її
за стосув а ння ....... . . . .. .. . ....... .• ...... 69
Формул и диференці ювання ... . . . ... . .. . . .. 69
Прав ил а д и ференціюв а ння ....... .. . ....... 69
Похідні вищих порядків " ..... . " ...... .. " 69
Фізични й зміст похідної . . . . . .... .•. . •.... .. 70
Геометричний зміст пох ідної .... . .. . •... ... 70
Рі ВНЯt\НЯ ДОТИЧНОЇ ' . ' ...... .. ' . ' ... ' ' ' . ... . 70
Монотонність (зростання, спадання) функції .. 70
К ритич ні точ к и фун к ції ........... . . . .... . .. 70
Екстремуми функції .. .... . . . . . .... . . . . .... 71
1.3.3. nервісна і невизначений інтеграл ...... . .... 71
Оз начення первісної та невизначеного
інтеграла ... . ......... .. ...... . ..... . .. .. . 71
Властивості первісної . . .. .. . .... ... . . . . .. .. 72
Правила інтегрування . . .. . .. . . . . .. . .. ... .. 72
Таблиця первісних і невизнач е них інтегра лів 72
1.3.4. Визначени й інте грал і його застосування .. .. 7З
Означення інтеграла ... ... .. . . . . .. ...... . .. 7З
Властивості інтегралів ...... . . . . ......•.... 73
Формула Ньютона - Лейбніца .. ... .... . . ... 73
Геометричн и й зміст інтеграла . . .... . ..• .... 7З
Обчислення площ фігур . .... ... . .. .. .. . . . .. 74
Обчислення об'ємів тіл . . ....... . .. . . . .... .. 74
Приклади тестових завдань до теми
«Функції» ....................................... 75
1.4. Елементи комбінаторики, початки теорії
ймовірностей та елементи статистики .... . 80
1.4.1. Основні формули комбінаторики .... . .. . .. .. 80
Перестановки . . . . .. ..... . . .. . ... ..... . .. .. 80
Розміщення ........•.....•..•.. . . •.. •..... 80
Комбінації ..... . . . . . . .. .. ................. 80
Властивості числа комбінацій без повторення .. 80
Біном Ньютона . . .... . . . . .................. 81
Трикутник Паскаля . . .....•..•. •..... •..... 81
1.4.2. Теорія ймовірн осте й . . ........... •..• ...... 81
Позначення й основні поняття ........ •... .. 81
Класичне означення ймовірності .... .. . .... 81
Операції над подіями ... . . . . . .. ... . .. . ..... 82
Теореми про додавання ймовірностей . ..... 82
Теореми про множення ймовірностей ..... .. 82
Незалежні випробування .
Схема Бернуллі . .. . . . . ... . ..... •..•..•.... . 83
Статистична ймовірність . . ............ . .... 83
Приклади тестових завдань до теми
«Елементи комбінаторики, початки теорії
ймовірностей та елементи статистики» . .. . ... 75
2. ГЕОМЕТРІЯ
2.1. Планіметрія .......... ................... . .... 88
2.1 .1. Геометричні фігури та величини ....... . .... 88
Прямі на площині ............ . . . ... .. . . ... 88
Ознаки і властивості паралельних прямих ... 88
Рівність фігур ... . . .... . ....... . . . .. . . . .. .. 89
Подібність фігур . .... . . . .... . .....•.... . ... 89
2.1.2. Многокутники і коло ........•.. •.. . ........ 90
Трикутник ....................•........... 90
Трикутник і описане коло .......•....... . . .. 91
Трикутник і вписане коло ..... . ...... .. . . . .. 91
Середня лінія трикутника .................. 92
Медіани, бісектриси і висоти трикутника . . .. 92
Рівнобедрений трикутник . .. . ... .. . .. . . . ... 92
Рівносторонній (правильний) трикутник .. .. 93
Прямокутний трикутник .... . .... .. . . ...... 93
Довільний чотирикутник .. . .... .. . .. ... . . .. 94
Вписаний чотирикутник ...... . .•..•.. •..... 94
Описаний чотирикутник .....•..•..•..•..... 95
Паралелограм . .. . . . . . .. ...... .. ........... 95
Прямокутник . .. . . .•. .. .. . . •.. •. .• . .. . . . .. 95
Ромб .... .. . .. .. .. ..... ..... . .•...... .. ... 96
Квадрат ... . .•. . . .. .. . .. . . .•..•..• . . . ..... 96
Трапеція ................•.. •.. •..• . ... . .. . 97
Рівнобічна трапеція ...... .•. . . .. .. •.. . ... .. 97
Прямокутна трапеція . .. . ... .. ... .•.. . ..... 97
Правильний шестикутник ................. . 97
Правильний многокутник (п сторін) .. . . ..... 98
Коло, круг : . . ....................... . .. . .. . 98
Коло, хорди і дуги .. . ..... . .. •. ....•. . . ... .. 99
Кути і коло .. . . .. . .... . . . ...... . .. •....... . 99
Пропорційні відрізки в колі ................ 100
Взаємне розташування прямої та кола . . . .. 100
Взаємне розміщення двох кіл .... . . . ...... 100
Дотичні до кола . . . .. . . . . .. . . . .. ... .. •.... 100
Спільні дотичні двох кіл . . . . .............. . 101
2.1.3. Декартові координати на площині .... .... . 101
Відстань між точками .. ...... . ........... . 101
Ділення відрізка в заданому відношенні ... 101
Рівняння прямої . .... ................ . . .. 102
Взаємне розміщення двох прямих ...... . .. 102
Взаємне розміщення прямих ....... ... .. . 102
Рівняння прямої . . . .............. . ... . .. .. 103
Рівняння кола ...... . . . .... ... .. .. . ..• .... 103
2.1.3. Вектори на площині ....•....... . ..•...... 103
Координати вектора . . ..... . ..... •..... . .. 103
Рівні вектори ............ •.... . . .. .. ...... 103
Довжина вектора .......•..•. .•..•....... . 104
Сума векторів ........... .......... .. . .. .. 104
Властивості додавання векторів ........... 104
Віднімання векторів .... . .... . ...... ...... 104
Множення вектора на число .. . .. .......... 104
Властивості множення вектора на число .. . 104
Колінеарні вектори ................. . . . .. . 105
Скалярний добуток векторів ...... .. .. .... . 105
Проекція вектора на вісь . .... ... .•. .... . .. 105
Кут між векторами ................. . ..... 105
Умова ортогональності векторів ... . .. ..... 105
Координатні вектори (орти) .... . 105
Приклади тестових завдань до теми
«Планіметрія» ............ .. ........... . .. .... . 106
2.2. Стереометрія... . . . ..... ... .. ...... ... 111
2.2.1. Многогранники ..... . ...•... . ... . .••...... 111
Призма. . . . ... . .... . ..•. . ...•.... 111
Пряма призма . .. . . . .... . .... . .. . .. . .•.... 111
Правильна призма .. . ... •.. •......... . . .. 111
Паралелепіпед . .. . . .... .. ... . .. . . . ..•.... 112
Прямий паралелепіпед . . ...... . .. . .. ..... 112
Прямокутний паралелепіпед .. . .. .. . . ..... 112
Куб (правильний гексаедр) . .. . .. . ......... 112
Теорема Ейлера ... . . .. . ... . .. .. . . .•. . . .. . 113
Піраміда .......... . . . . . .. ...• ..• . .•.. .... 113
Правильна піраміда " " " "" " " " " " " 113
Зрізана піраміда .. . ... . .... ...... .. .. . .. . 113
Правильна зрізана піраміда . . . . .. ... ...... 114
Правильний тетраедр ........... . .. . ...... 114
Правильний октаедр .. .......... . . .•. ..... 114
Правильний додекаедр . ... •. .• ..... . ..... 115
Правильний ікосаедр ..... .• . ........ ... .. 115
2.2.2. Тіла обертання . ... . ..... .... .. . . .•... . .. .. 115
Циліндр ..... . . ...... •. ... •......... . .... 115
Конус. ... ... .. . . . .•. .... . . •... . . . .. ...... 116
Зрізаний конус ..... . . •. .•... . .. . . . . . . . . .. 116
Куля (сфера) ...... . ....... . . . ..... . . 11 б
Кульовий сектор .. .. . . •. . . . . ....... •.. . .. . 116
Кульовий сегмент . . . ....... . . . .. . .... . . .. 117
2.2.3. Декартові координати в просторі ... . .... .. 117
Відстань між точками . . ..... . . . . ...... . .. . 117
Ділення відрізка в заданому відношенні ... 117
Рівняння площини .. .. . ... . .... . ..... .. .. 117
Рівняння сфери ...... . . . . . ... . .. ...•...... 118
2.2.4. Вектори в просторі . . .. ... . .. .. .. . .. . .. ... 119
Координати вектора ... .. ..... . .. .. •. ..... 119
Рівні вектори . ...... . ... . . ....... .. .. . .. .. 119
Протилежні вектори . . .. . . . .... . . .. •.... .. 119
Довжина (модуль) ве ~тора . .. . . .•. . . .... .. 119
Сума векторів ....... . . .... . .... •. .•. .... . 119
Властивості додавання векторів .. . . .. •.... 120
Віднімання векторів ........... ... . ..• ... . 120
Множення вектора на число .. . .... . ... .. .. 120
Властивості множення вектора
на число . . ......... ... . ...... . . . .. •...... 120
Колінеарні вектори ........ . . ..... . . . . . . .. 120
Скалярний добуток векторів . ... . .. .•. . .... 120
Властиво~ті скалярного добутку ....•. ... .. 120
Проекція вектора на вісь .... . . . . . . . ... . . .. 121
Кут між векторами ... . ......... •.. . . . . . .. 121
Координатні вектори (орти) .......... .. 121
Розкладання вектора ...........• . . . . .. . .. 121
2.2.5. Комбінації тіл обертання ...... . ... ... ... .. 122
Сфера, описана навколо циліндра .. . . .. .... 122
Сфера, вписана в циліндр ...... .. .. . . .. . .. 122
Сфера, описана навколо конуса . .... •.. . ... 122
Сфера, вписана в конус. .. .. ..... . ..... . .. . 122
Циліндр, вписаний у конус. . .. . ... .. . . .. . .. 123
2.2.6. Комбінації кіл із многогранниками ........ 123
Сфера, описана навколо призми . . . .. ... . .. 123
Сфера, вписана в пряму призму .. . ..... .... 123
Сфера, описана навколо правильної
піраміди ............. . .... .. ...... ..... .. 123
Сфера, вписана в правильну піраміду .... .. 124
Прикnади тестових завдань до теми
«Стереометрія» ........ .. ... ...... . .. .. . .... . .. 125
Тренувальне тестове завдання № 1 . . .. ... . .. 129
Тренувальне тестове завдання № 2 .. . . . .. . .. 135
Відповіді " .. .. " .. .. . ....... . .. . .. . .. ... " .... 142
